まず遺族年金ですが、老齢給付と異なり、給与支払の有無によって支給停止になることはありません。

次に保険加入についてですが、雇用契約になるかどうかで判断されます。顧問という名称であっても、実態が雇用契約であれば、保険加入の可能性も出てきます。

その際、加入資格があるかどうかは、勤務実態となります。
雇用保険の場合は、１週間の所定労働時間が２０時間未満であるものは雇用保険の被保険者になれません。

社会保険の加入基準は、労働時間が、正社員の労働時間の概ね４分の３が基準となります。４分の３を下回る場合は、社会保険の被保険者にはなれません。健保組合の条件も同様です。

非常勤顧問という契約形態から判断すると、労働者性は低く雇用契約とはならないでしょうから、雇用保険の対象にはならないと思われます。
また、非常勤であれば、出社日数も限られているでしょうから、社会保険の対象からも外れるでしょう。

参考になった：1名

まず遺族年金については、現在55歳ということなので、社会保険の加入状況や給与支給かどうか、またその給与額によって減額や受給ができなくなるということはありません。

また、非常勤顧問の方を社会保険に加入させたいというお考えでしょうか。
名目は「相談役」や「顧問」といった低額の報酬者であっても、「常勤役員（労働者）」は社会保険の被保険者となります。

ここで大事なことは、名目だけ非常勤役員としても勤務実態そのものが常勤と変わらない場合は、社会保険の被保険者と判断されます。したがって、出勤日数や時間が正規社員の４分の３以上であれば、社会保険に加入させることができます。
なお、社会保険の被保険者と判断できる場合は、雇用保険の加入対象となるので、雇用保険も加入させる必要があります。

ただ、実態が役員であれば雇用保険へは加入しなくてもよいということになりますので、勤務実態と役員であるかどうかをしっかりと判断し、適用されたほうがよいかと思われます。

参考になった：1名